Question

数学分析（函数导数部分）的一道题求教

第五题求大佬指教！！

Answer 1

反证法，假设对于任意θ都有f''(θ)≠0,有三种情况发生

1. 部分f''(θ)>0，部分f''(θ)<0，因为f''(x)连续，由零点存在定理，必有f''(θ)=0，矛盾

2. 任意θ都有f''(θ)<0

3. 任意θ都有f''(θ)>0

2.和3.是类似的，下面只证明3.情形下是正确的

在证明3.之前，先证明一个凸函数的性质：

若g(x)是凸函数，对于定义域上的任意一点x0，g(x)在x0处的切线方程为：y=g'(x0)(x-x0)+g(x0)，则g(x)≧y恒成立，即g(x)≧g'(x0)(x-x0)+g(x0)恒成立。

上述性质的证明其实很简单，你只要画图就容易看出来，凸函数图象一定在切线的上方，并且只能在切点处取得等号。

任意θ都有f''(θ)>0，则f'(x)为连续增函数，于是存在x0使得f'(x0)≠0，下面要分两种情况

I.存在x0使得f'(x0)>0

II.存在x0使得f'(x0)<0

I.和II.是类似的，下面只证明II.情形下是正确的

因为对任意θ都有f''(θ)>0，说明f(x)是一个凸函数，对上述的x0有f(x)≧f'(x0)(x-x0)+f(x0),又因为f'(x0)<0，则切线在负无穷处趋于正无穷，于是f(x)在负无穷处也要趋于正无穷，这与f(x)有界矛盾。

Answer 2

根本没什么好证的啊

追问

可是有界也可能只有上界没有下界或只有下界没有上界呀

追答

那我可以举出反例哦，y=e^x，存在下界0
y''=e^x是不可能为0的

追问

诶，是哦，哈哈哈我明白啦谢谢你！～～

啊啊等等好像还有一点问题

就是这个函数可能取不到最值

比如这种有渐近线的情况|･ω･｀)

追答

x1我也没说它是个值啊，这种情况你当它无穷大就好了

追问

如果这样就不存在导数等于零的情况呀

那就不能用中值定理了呀

追答

……我觉得在两个地方趋向于0就够了

Answer 3

这个你还是问老师去吧

追答

跟三角函数有关，尽量往那方面想