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分享一个我常用的方法,原理我也不知道,总之可以用的时候屡试不爽.
要证明的等式可以化为f'(ξ)+af(ξ)/(ξ-b)=0.这个等式只是针对某个ξ成立,但如果我先用最一般的情况,即对於所有的x,等式都成立的时候,令y=f(x),这样一来就变成了y'+ay/(x-b)=0
这是一个一阶线性微分方程,解得y=C/|x-b|^a,C是任意常数.
找辅助函数φ(x)的时候,注意φ(x)求导以後既有f(x)这一项,又有f'(x)这一项,最简单的道理就是令φ(x)=f(x)g(x).因为上面说了我考虑了所有的x都有φ'(x)=0,那φ(x)只可能是个常数函数.对比一下f(x)的表达式,显然g(x)就出来了,就是|x-b|^a
又因为定义域是在[a,b]上,x<b,所以去掉绝对值以後就是(b-x)^a
要证明的等式可以化为f'(ξ)+af(ξ)/(ξ-b)=0.这个等式只是针对某个ξ成立,但如果我先用最一般的情况,即对於所有的x,等式都成立的时候,令y=f(x),这样一来就变成了y'+ay/(x-b)=0
这是一个一阶线性微分方程,解得y=C/|x-b|^a,C是任意常数.
找辅助函数φ(x)的时候,注意φ(x)求导以後既有f(x)这一项,又有f'(x)这一项,最简单的道理就是令φ(x)=f(x)g(x).因为上面说了我考虑了所有的x都有φ'(x)=0,那φ(x)只可能是个常数函数.对比一下f(x)的表达式,显然g(x)就出来了,就是|x-b|^a
又因为定义域是在[a,b]上,x<b,所以去掉绝对值以後就是(b-x)^a
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