Question

高中文科数学，抛物线问题，14题想要详细解答？

Answer 1

设直线与抛物线交点为M，与对数函数交点为N

则M点坐标为（a，y1），N点坐标为（a，y2）

则MN距离为y1-y2（由函数图像知y1＞y2，如果你用y2-y1，则需要加绝对值）。

坐标带进去，有MN=f（x）=a²+1-lna

即求这个函数的最小值。

求函数极值无脑求导，有f'(x)=2a-1/a

令f'(x)=0

解得a=根2/2

当a＞根2/2时，f'(x)＞0，即f(x)单调递增

当a＜根2/2时，f'(x)＜0，即f(x)单调递减

所以a=根2/2时，f(x)有最小值

Answer 2

|MN|=a²+1-lna
求导：
2a-1/a=0
2a²=1
a=√2/2，（lnx，x>0,不必考虑负值）
|MN|min=1/2+1-ln(1/√2）
=3/2+（ln2）/2

Answer 3

望采纳，谢谢！

Answer 4

直线l化为x=a，则由抛物线和函数的图像得线段MN的最小值就是两条曲线间垂直距离的最小值
令f(x)=x²+1 - lnx
求导得：f'(x)=2x - 1/x=(2x² - 1)/x
∵f(x)的定义域是(0，+∞)
∴当2x² - 1<0，即：0<x<√2/2时：
f'(x)<0，则f(x)在(0，√2/2)上单调递减
当2x² - 1>0，即：x>√2/2时：
f'(x)>0，则f(x)在(√2/2，+∞)上单调递增
∴当x=√2/2时，f(x)有最小值
则f(√2/2)=(√2/2)² + 1 - ln(√2/2)
=3/2 + (1/2)ln2
即：当a=x=√2/2时，|MN|的最小值是3/2 + (1/2)ln2