Question

数学分析 求积分∫x²/√(1+x-x²)dx

Answer 1

设x=1/2+(√5/2)sinθ，则
dx=(√5/2)cosθdθ.
∴∫[x²√(1+x-x²)]
=(2/√5)∫[((1/2+(√5/2)sinθ)²/cosθ]·(√5/2)cosθdθ
=∫[1/2+(√5/2)sinθ]²dθ
=∫[1/4+(√5/2)sinθ+(5/4)sin²θ]dθ
=(1/4)θ-(√5/2)cosθ+(5/8)∫(1-cos2θ)dθ
=(7/8)θ-(√5/2)cosθ-(5/16)sin2θ+C
以下省略——
以sinθ=(2x-1)/√5，
cosθ=√(1-sin²θ)，sin2θ=2sinθcosθ，
θ=arcsin[(x-1/2)/(√5/2)]=arcsin[(2x-1)/√5]，
代入上述结果即ok了！