Question

高等数学 第88题函数的有界性问题，答案怎么理解呢？

为什么选D选项，其他选项怎么错的呢？谢谢回答





Answer 1

定义：在某个过程中，有一个变量y，如果存在一个正数A，在这个过程中能够找到一个时刻，在

这个时刻以后，永远有∣y∣<A，则变量y叫作“有界变量”。这里的“变量”，当然包括函数，数列

等等。

此定义的要点是强调正数A的存在性，至于A的准确大小并不在意。

例如，1/2，1/4，......，1/2ⁿ，.......

是有界变量。因为任取A=1/1024，那么当n>10以后，恒有1/2ⁿ<1/1024。

还有一个定义：如果变量y在其全部变化过程中(也就是在它的定义域内)恒有m≦y≦M，那么M叫作变量y的上确界，m叫作变量y的下确界。比如上例的上确界是1/2；有下界，但无下确界，即0<1/2≦1/2.

你提的-3≦g(x)≦2，g(x)当然是有界函数，而且有上确界2和下确界-3。如果只考虑“有界”，无需确定其“确界”，当然取∣g(x)∣≦3，或取∣g(x)∣<4，等等都是可以的

追问

不懂就不用回答，谢谢理解

Answer 2

很简单啊...

极限存在则局部有界,所以在(0,δ)和(X,+∞)上f(x)都有界
而在[δ,X]上f(x)连续,所以也一定有界
既然分区间上都有界,把这3个区间并起来,合区间(0,+∞)上也当然有界,所以选D了啊