Question

已知函数定义域为R,对任意x1<x2,有f(x1)-f(x2)/x1-x2>-1,且f(1)=1,则不等式f(x)<2-x的解集？

Answer 1

由题知
①对任意x>1有
[f(1)-f(x)]/(1-ⅹ)>-1
故1-f(ⅹ)<x-1
即f(x)>2-ⅹ
②反之任意x<1有
[f(ⅹ)-f(1)]/(ⅹ-1)>-1
故f(ⅹ)-1<1-ⅹ
即f(ⅹ)<2-x
③又当ⅹ=1时有f(ⅹ)=2-ⅹ=1
由①②③知所求解集为ⅹ<1
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Answer 2

Answer 3

[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)>-1
令x₂=1，x₁=x，则x<1，代入：
[f(x)-f(1)]/(x-1)>-1 不等式两边乘以(x-1),不等号变向
f(x)-1<1-x→f(x)<2-x
令x₁=1，x₂=x，则x>1，代入：
[f(1)-f(x)]/(1-x)>-1 不等式两边乘以(1-x),不等号变向
1-f(x)<x-1→f(x)>2-x.
∴不等式f(x)<2-x的解集是x<1