Question

在三角形abc中bcosa=(2c+a)cos(派-b)

Answer 1

在三角形ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosA=(2c+a)cos(A+C)，求角B的大小。
由正弦定理a/sinA
=
b/sinB
=
c/sinC
=
2R
，R
为△ABC
外接圆的半径。可得：
a
=
2RsinA，
b
=
2RsinB，c
=
2RsinC，
代入bcosA=(2c+a)cos(A+C)中，可以得到：
2RsinBcosA
=
(4RsinC+2RsinA)cos(A+C)，
sinBcosA
=
(2sinC+sinA)cos(180°-B)，
sinBcosA
=
(2sinC+sinA)(-cosB)=-2sinCcosB
-
sinAcosB，
移项，sinBcosA
+
cosBsinA
=
-2sinCcosB，
sin(A+B)
=
-2sinCcosB
注：sin(α+β)=sinαcosβ
+cosαsinβ，
sin(180°-C)=-2sinCcosB，
sinC
=
-2sinCcosB，
所以，cosB
=
-1/2，B
=
120°（或者可以写成2π/3）。

Answer 2

因为：a/sina
=
b/sinb
=
c/sinc
=
2r
，r
为△abc
外接圆的半径。所以有：
a
=
2rsina,
b
=
2rsinb,
c
=
2rsinc
那么，代入这个条件式中，可以得到：
2rsinbcosa
=
(4rsinc+2rsina)cos(a+c)
sinbcosa
=
(2sinc+sina)cos(180°-b)
sinbcosa
=
(2sinc+sina)(-cosb)=-2sinc*cosb
-
sinacosb
移项，
sinbcosa
+
cosbsina
=
-2sinc*cosb
sin(a+b)
=
-2sinc
*
cosb
注：sin(α+β)=sinαcosβ
+cosαsinβ
sin(180°-c)=-2sinc
*
cosb
sinc
=
-2sinc
*
cosb
所以，cosb
=
-1/2
因此，b
=
120°