Question

若不等式1/n+1+1/n+2……+1/3n+1>a/24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论。

Answer 1

令sn=1/n+1+1/n+2……+1/3n+1

则s(n+1)=1/(n+2)
+1/(n+3)+.....1/(3n+4)

s(n+1)-sn=1/(3n+2)
+
1/(3n+3)
+
1/(3n+4)
-
1/(n+1)

=1/(3n+2)
+
1/(3n+3)
+
1/(3n+4)-
1/3(n+1)-
1/3(n+1)-
1/3(n+1)

=[1/(3n+2)-1/(3n+3)]-[1/(3n+3)-1/(3n+4)]

=1/(3n+2)(3n+3)
-
1/(3n+3)(3n+4)>0

所以sn的最小值是当n=1时
s1=1/2
+
1/3
+1/4
=13/12

当a/24<13/12即有不等式对所有正整数n都成立

所以a<26
正整数a的最大值为25

欢迎追问!

Answer 2

放缩法，你把所有的都等于1/3n+1,（在对具体的某个项比较一下），和等于n/3n,和等于1/3，答案是不是等于8