Question

求助线性代数高手，急！！！

随机n阶矩阵P，其所有特征值小于1，每行所有项之和为1，且各项均为正。问在什么条件下，P的n次方的极限可以表示成n个相同行向量构成的矩阵？

Answer 1

二楼说的是对的，原题有点问题，我帮你重新叙述一下：

P是n阶随机矩阵(各项非负、行和为1)，问在什么条件下，P的n次方的极限可以表示成n个相同行向量构成的矩阵？

结论是，当且仅当P不可约时，P的n次方的极限可以表示成n个相同行向量构成的矩阵。
证明很容易，如果P不可约，由Perron-Frobenius定理，1是谱半径，也是P的单重特征值，其左特征向量π是非负的，通常称为稳态分布，右特征向量是e(所有分量都是1。利用Jordan分解容易得P^n -> πe。
反之，如果P可约，那么可以通过排列将QPQ'分解为若干不可约块，对每一块而言1都是特征值，都有对应的Perron向量，也就是说1是P的重特征值，此时(QPQ')^n=QP^nQ'显然不会趋向于秩1的矩阵。

Answer 2

个人觉得题目有点问题。
如果每行所有项之和为1，那么矩阵应该有一个特征值1才对，对应的特征向量是“全1”。
因为：
P*[1 1 ...1]'=1*[1 1 ...1]'

那怎么会“其所有特征值小于1”？
楼主再看看，一起讨论。

Answer 3

p小于等于N时 是对的。
一楼的人很聪明。

要反过来想，你想令每个都是一样的，都为A。
就明白了

Answer 4

p小于等于N时