Question

高数，无穷积分敛散性判断

其中m为正整数，谢谢

Answer 1

首先对他做个简单的变换，令t=1-x，则原来积分变为
∫(lnt)^(2/m) dt |0,1
我们先从lnt /(1/t)^k看起来，如果k>0，分子分母都趋于无穷大，应用罗比达法则得到
1/t /(-k /t^(k+1)) =- t^k/k
所以对于任意k>0，极限为0，lnt是1/t^k的低阶无穷大(k>0)
所以(lnt)^(2/m)是1/t^(2k/m)的高阶无穷大，2k/m>0

而∫1/x^p dx = (p-1)1/x^(p-1) |0,1
当p=1时，积分为lnx不可积
当p>1时，积分在x=0处不收敛
当p<1时，积分变为(p-1)x^(1-p) = p-1可积
所以取2k/m =0.5即k=m/4时，可以知道(ln(t))^(2/m)的高阶无穷大x^(-0.5)依然可积，说明原来积分也是可积的

Answer 2

分享一种解法，借用“伽玛函数Γ(α)=∫(0,∞)[t^(α-1)]e^(-t)dt，α>0时收敛”的性质求解。
设ln(1-x)=-t。∴1-x=e^(-t)。∴原式=∫(0,∞)[t^(2/m)]e^(-t)dt=Γ(2/m+1)。
显然，m为正整数时，(2/m)+1>0。故，积分收敛。
供参考。

追问

谢谢，明白了，方法很巧妙

Answer 3

令F(x)=∫(0→x)m次方根[ln²(1-x)]dx用泰勒公式看看。把F(1)在x=0展开