Question

关于导数的这道题，有没有大佬可以解释一下三个选项错在哪？

Answer 1

这里应该明确洛必达法则使用的三个条件：

1. 分子、分母同时趋向于0或∞；

2. 在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导，且分母导数不为0（本题已满足）；

3. 分子和分母分别求导后比值为一个实数A或∞。这里的∞单独来看就表示极限不存在。

ABC三个选项都使用了洛必达法则，却没有保证条件1，所以均是错的。

Answer 2

只须举例。
A：f(x)=x+2，g(x)=x+1。在 x=0 处，导数极限=1，但商极限= 2。
B：同上。商极限=2，但导数极限=1。
C：f(x)=｛x^2 * sin(1/x) (x≠0)；0(x=0)，g(x)=x，
f'(x)=｛2xsin(1/x) - cos(1/x) (x≠0)；0（x=0），
导数极限不存在，商极限 = 0 。