Question

为什么一个函数可以存在不定积分而不存在定积分？

Answer 1

这很正常，也有存在定积分而不存在不定积分的函数。从定义上来看，不定积分是求导函数的逆运算，而定积分是求黎曼和的极限，显然是没什么关系的。你问了这个问题，想必是从牛顿莱布尼茨公式中得来的疑问，牛顿莱布尼茨公式的使用的条件是比较苛刻的，首先这个函数定积分必须可积，但不定积分可积不一定需要，但这个“原函数”要连续，且除了有限个点外可导，且再次除了有限个点外成立F'(x)＝f(x)

Answer 2

∫cscx dx =∫1/sinx dx =∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式 =∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2) =∫1/tan(x/2)*sec2(x/2) d(x/2) =∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec2(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C =ln|tan(x/2)|+C,这是答案一 进一步化简: =ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C =ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos2(x/2)]|+C,凑出两倍角公式 =ln|sinx/(1+cosx)|+C =ln|sinx(1-cosx)/sin2x|+C =ln|(1-cosx)/sinx|+C =ln|cscx-cotx|+C,这是答案二在 微积分中，一个函数 f 的 不定积分，或原函数，或反导数，是一个 导数等于 f 的 函数 F ，即 F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中 F是 f的不定积分。根据 牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系，其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。