Question

f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=0,f(2)=2，证明:在(0，2)内

f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=0,f(2)=2，证明:在(0，2)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=ξ/f(ξ)
注:用罗尔定理证明。

Answer 1

定义函数g(x)=f(x)^2-x^2, g(2)=g(0)=0, g(x)在[0,2] 上连续, (0,2)上可导, 所以在(0，2)内至少存在一点ξ,使得g'(ξ)=0, 即2f'(ξ)f(ξ)=2ξ,即f'(ξ)=ξ/f(ξ)

追问

辅助函数g(x)怎么求的？

辅助函数g(x)怎么求的？

追答

我也不知道. 我猜出来的

Answer 2

因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得： f(c)＝f(0)+f(1)+f(2) 3 ＝1，又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0．