Question

函数的极值，单调区间，以及凹凸性问题。高数，如图。

为什么不可以保留绝对值，最后再算呢？而且要先取消！

Answer 1

带着绝对值符号，是没法积分的。举个最简单的例子：∫∣x∣dx;

当x<0时∫∣x∣dx=-∫xdx=-(1/2)x²+c；当x≧0时∫∣x∣dx=∫xdx=(1/2)x²+c；

不打开绝对值符号怎么积分？能这么做吗？∫∣x∣dx=∣(1/2)x²∣+c=(1/2)x²+c，显然不可以。

题目给的积分，因为0≦t≦1，0<x<1；对t积分时先把x看作某个定值，当 x≦t时∣t(t-x)∣=-t(t-x)

当t≧x时∣t(t-x)∣=t(t-x)；因此要分两段进行积分：

令f '(x)=x²-(1/2)=0，得唯一驻点x=√(1/2)=(√2)/2；当x<1/2时f'(x)<0；当x>1/2时f'(x)>0；

因此x=1/2是极小点，极小值f(x)=f(√2/2)=-(√2)/6+(1/3);

在(0,  √2/2]单调减；在[√2/2，1)内单调增。在区间端点上，f(0)=1/3；f(1)=1/6；

当0<x<1时f''(x)=2x>0；因此其图像在区间(0，1)是凹的曲线(向下凸)。

Answer 2

被积函数带绝对值，是一定要去绝对值的，否则连原函数都写不出来，要注意这道题目的函数定义域是(0,1)

Answer 3

绝对值是分段连续函数。分段连接函数的积分要注意在分断处积分连续的一致性。打开绝对值是一定的。

Answer 4

我帮你把函数表达式解出来了