Question

一道数学题的第二，三小题。希望有具体过程

Answer 1

设z=f（x，y）有连续的偏导数，曲线C：2x²-3y²-36=0，是f（x，y）在z=2的水平截线，设（a，b）是曲线C上的任意一点，u=u1i+u2j，曲线C在点（a，b）处的切线的方向向量。

（a）▽f（a，b）与向量u有什么关系？

（b）如果fy（2√6，2）=1，求fx（2√6，2）；

（c）设曲线C1是曲面z=f（x，y）被平面y=2截的曲线，求曲线C1在（2√6，2，2）点处，曲线C1的切线的参数方程。

（a）注：▽f（a，b）是曲面z=f（x，y）在（a，b，f（a，b））处的梯度，

▽f（a，b）=（fx，fy），曲面上该点最陡的方向。

最陡方向与曲面在该点在水平切线是互相垂直的。▽f（a，b）⊥向量u

（b）根据（a）可以求解。x=2√6，y=2，代入C：

2x4x6-3x4-36=0，在曲线C上，该点z=2，坐标（2√6，2，2）

C求导：4x-6yy’=0，y’=4x/6y=4x2√6/（6x2）=2√6/3，可以取u=3i+2√6j

（fx，fy）.（3，2√6）=（fx，1）.（3，2√6）=3fx+2√6=0，fx=-2√6/3

▽f（a，b）=（-2√6/3，1）

（c）（2√6，2，2）恰好是水平曲线C与竖直曲线C1的交点，位于曲面z=f（x，y）上。

C1方程，z=f（x，2），dz=fx（x，2）.dx，dz/dx=fx（x，2）=fx（2√6，2）=-2√6/3

切线：z=-2√6/3（x-2√6）+2，

设C1在（2√6，2，2）处在切线对x轴正方向倾角α，

cosα=-3/√（24+9）=-3/√33，sinα=2√6/√33

切线的参数方程：

x=2√6-3t/√33，z=2+2√6t/√33