Question

若a^3-b^3=a^2-b^2(a、b为正实数,a不等于b),求证: 1<a+b<4/3.

Answer 1

a^3-b^3=a^2-b^2
(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a+b)
由于a!=b
a^2+ab+b^2 = a+b
(a+b)^2 - ab = a+b
由于a>0,b>0,所以ab>0
(a+b)^2 > (a+b)
a+b > 1

(a+b)^2 - ab = a+b
(a+b)^2 - (a+b) = ab
由于ab = [a^(1/2)*b^(1/2)]^2

根据不等式xy<1/2(x^2+y^2)可得
ab < [1/2(a+b)]^2
即ab<1/4* (a+b)^2
代入原式得
(a+b)^2 - (a+b) < 1/4*(a+b)^2
整理：
3/4* (a+b)^2 < (a+b)
a+b < 4/3

综合两个结果可得
1<a+b<4/3

Answer 2

由a^3-b^3=a^2-b^2
推出a^2+b^2+ab=a+b
(a+b)^2-(a+b)=ab<=[(a+b)/2]^2
设a+b=x
3/4x^2-x<=0
所以1<a+b<4/3

Answer 3

(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a+b)
a不等于b
所以a^2+ab+b^2=a+b
(a+b)^2-ab=a+b
ab=(a+b)^2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)>0
因为a+b>0,所以a+b>1
又因为4ab<(a+b)^2
所以4(a+b)^2-4（a+b）-(a+b)^2
=3(a+b)^2-4（a+b)
=3(a+b)(a+b-4/3)<0
所以a+b<4/3
得0<a+b<4/3

Answer 4

因为a不等于b,
所以(a-b)^2>0
因为(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
所以a^2-2ab+b^2>0
即a^2-ab+b^2>ab
因为a,b均为正实数
所以a+b>0
则有(a+b)*(a^2-ab+b^2)>(a+b)*ab
因为(a+b)*(a^2+b^2-ab)=a^3+b^3，ab*(a+b)=a^2b+ab^2
所以a^3+b^3>a^2b+ab^2

Answer 5

a^3-b^3=a^2-b^2
(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a+b)
由于a!=b
a^2+ab+b^2
=
a+b
(a+b)^2
-
ab
=
a+b
由于a>0,b>0,所以ab>0
(a+b)^2
>
(a+b)
a+b
>
1
(a+b)^2
-
ab
=
a+b
(a+b)^2
-
(a+b)
=
ab
由于ab
=
[a^(1/2)*b^(1/2)]^2
根据不等式xy<1/2(x^2+y^2)可得
ab
<
[1/2(a+b)]^2
即ab<1/4*
(a+b)^2
代入原式得
(a+b)^2
-
(a+b)
<
1/4*(a+b)^2
整理：
3/4*
(a+b)^2
<
(a+b)
a+b
<
4/3
综合两个结果可得
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Answer 6

(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a+b)
a不等于b
所以a^2+ab+b^2=a+b
(a+b)^2-ab=a+b
ab=(a+b)^2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)>0
因为a+b>0,所以a+b>1
又因为4ab<(a+b)^2
所以4(a+b)^2-4（a+b）-(a+b)^2
=3(a+b)^2-4（a+b)
=3(a+b)(a+b-4/3)<0
所以a+b<4/3
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