Question

高中函数的周期性，对称性，对称轴。

Answer 1

f(a+x)
=
f(a-x)
==>
f(x)
关于x=a对称
f(a+x)
=
f(b-x)
==>
f(x)
关于
x=(a+b)/2
对称
f(a+x)
=
-f(a-x)
==>
f(x)
关于点
（a，0）对称
f(a+x)
=
-f(a-x)
+
2b
==>
f(x)
关于点（a，b）对称
f(a+x)
=
-f(b-x)
+
c
==>
f(x)
关于点
[（a+b）/2
，c/2]
对称
y
=
f(x)
与
y
=
f(-x)
关于
x=0
对称
y
=
f(x)
与
y
=
-f(x)
关于
y=0
对称
y
=f(x)
与
y=
-f(-x)
关于点
(0,0)
对称
例1：证明函数
y
=
f(a+x)
与
y
=
f(b-x)
关于
x=(b-a)/2
对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y
=
f(a+x)
上，令关于
x=t
的对称点Q（2t
–
m，n），
那么n
=f(a+m)
=
f[
b
–
(2t
–
m)]
∴
b
–
2t
=a
，
==>
t
=
(b-a)/2
，即证得对称轴为
x=(b-a)/2
.
例2：证明函数
y
=
f(a
-
x)
与
y
=
f(x
–
b)
关于
x=(a
+
b)/2
对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y
=
f(a
-
x)
上，令关于
x=t
的对称点Q（2t
–
m，n），
那么n
=f(a-m)
=
f[
(2t
–
m)
–
b]
∴
2t
-
b
=a
，
==>
t
=
(a
+
b)/2
，即证得对称轴为
x=(a
+
b)/2
.
二、函数的周期性
令a
,
b
均不为零，若：
1.
函数y
=
f(x)
存在
f(x)=f(x
+
a)
==>
函数最小正周期
T=|a|
2.
函数y
=
f(x)
存在f(a
+
x)
=
f(b
+
x)
==>
函数最小正周期
T=|b-a|
3.
函数y
=
f(x)
存在
f(x)
=
-f(x
+
a)
==>
函数最小正周期
T=|2a|
4.
函数y
=
f(x)
存在
f(x
+
a)
=1/f(x)
==>
函数最小正周期
T=|2a|
5.
函数y
=
f(x)
存在
f(x
+
a)
=
[f(x)
+
1]/[1
–
f(x)]
==>
函数最小正周期
T=|4a|