Question

求证1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=n(n+1)(n+2)/6

Answer 1

既然你多次让我回答问题，而且都很尊敬地叫我中国天才青少年数学家刘浩男，我帮你解答一下这个问题。其实我早就发现网上关于此题的证明方法不好，都是用的数学归纳法，我觉得相当麻烦的，下面是我的想法：
首先可以将1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1改写为1+(1+2)+(1+2+3)+.......+(1+2+3+4+....n)
又因为1+2+3+……+n=(n^2+n)/2
所以1+(1+2)+(1+2+3)+.......+(1+2+3+4+....n)
=1/2[(1^2+1)+(2^2+2)+……+(n^2+n)]
=1/2[(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+4+....n)]
=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]
=n(n+1)(n+2)/6
或者1+2+3+……+n=C
2
n+1(C为组合数，2为上标，n+1为下标)，再利用(C
m-1
n)+(C
m
n)=C
m
n+1化简得：
1+(1+2)+(1+2+3)+.......+(1+2+3+4+....n)=C
3
n+2=n(n+1)(n+2)/6

Answer 2

证明：当n=1时，左边=1*1=1，右边=（1/6）*1*2*3=1
左边=右边，等式成立。
假设当n=k时，等式成立。
即
1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)
当n=k+1时
左边=1*(k+1)+2*k+……+(k-1)*3+k*2+（k+1）*1
=[1*k+1*1]+[2*(k-1)+2]+……+[(k-1)*2+k-1]+[k*1+k]+(k+1)
（把每一项分成两项）
=[1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1]+[1+2+……+(k-1)+k+(k+1)]
(前一项是把n=k时成立的结果带进去，后一项是等差数列)
=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)
=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
即当n=k+1时等式也成立。
综上，原等式恒成立。