Question

求直线(x-1)╱9=（y＋1）╱－4＝z╱－7在平面2x－y－3z＋6＝0上的投影直线的方程

Answer 1

解：平面π的法向矢量为{2，-1，-3}；由L的方程可知L上有一点M(1，-1，0)；
那么过M且以π的法向矢量为方向数的直线：(x-1)/2=(y+1)/(-1)=z/(-3)=t
必垂直于平面π;
将此直线的参数方程：x=2t+1；y=-t-1；z=-3t代入平面π的方程得：
2(2t+1)-(-t-1)-3(-3t)+6=14t+9=0；解得t=-9/14；再将此t值代入参数方程得：
点M在平面π上的投影M₁的坐标为：M₁(-2/7，-5/14，27/14)；
再取t=1，又得L上另一点N(3，-2，-3)；同理，过N且以π的法向矢量为方向数的直线：
(x-3)/2=(y+2)/(-1)=(z+3)/(-3)=r也必垂直于平面π。将此直线的参数方程：x=2r+3;
y=-r-2；z=-3r-3代入平面π的方程解得r=-23/14；再代入参数方程点N在平面π上的
投影N₁的坐标为：N₁(-2/7，-5/7，27/14）。
取M₁与N₁的坐标差为方向数{m，n，p}，得m=0；n=5/14；p=0；即投影线的方向数为：{0，5/14，0};
故投影线的方程为：[x+(2/7)]/0=[y+(5/14)]/(5/14)=[z-(27/14)]/0；

Answer 2

x+y+z-3=0的法向量为(1,1,1)
过直线x+2y-z+1=0
3x-2y+z-1=0的平面系方程为
x+2y-z+1+k(3x-2y+z-1)=0
即(1+3k)x+(2-2k)y+(k-1)z+1-k=0
(1)
法向量为(1+3k,2-2k,k-1)
若该法向量与(1,1,1)垂直
则(1+3k)*1+(2-2k)*1+(k-1)*1=0
即2k+2=0
k=-1
代入(1)
x+2y-z+1-(3x-2y+z-1)=0
即-2x+4y-2z+2=0
即x-2y+z-1=0
该平面与平面x+y+z-3=0的交线就是投影直线
∴直线就是x-2y+z-1=0,x+y+z-3=0
也可化成较简单的形式y=2/3,x+z=7/3