Question

高中数学函数难题及其解析

Answer 1

设a，b∈
R
，且a
≠
2，定义在区间(-b，b)内的函数f(x)
=
lg[(1
+
ax)/(1
+
2x)]是奇函数。
(1)、求b的取值范围;
(2)、讨论函数f(x)的单调性。

解
:
(1)、函数f(x)
=
lg[(1
+
ax)/(1
+
2x)]在区间(-b，b)内奇函数，等价于x∈(-b，b)都有
f(-x)
=
-f(x)
<1>
(1
+
ax)/(1
+
2x)
>
0
<2>
由<1>得
lg[(1 -
ax)/(1 -
2x)]
=
-lg[(1
+
ax)/(1
+
2x)]，即
(1
-
ax)/(1
-
2x)
=
(1
+
2x)/(1
+
ax)，也即
a²x²
=
4x²，此式对任意x∈(-b，b)都成立，相当于a²
=
4，∵a
≠
2，∴a
=
-2，代入<2>得
(1
-
2x)/(1
+
2x)
>
0，即
-1/2
<
x
<
1/2
此式对任意x∈(-b，b)都成立，相当于-1/2
≤
-b
<
b
≤
1/2，所以b的取值范围是:b∈[-1/2，1/2]。

(2)、设任意x1，x2∈(-b，b)，且x1
<
x2，由b∈[-1/2，1/2]得-1/2
≤
-b
<
x1
<
x2
<
b
≤
1/2，
∴
0
<
1
-
2x2
<
1
-
2x1，0
<
1
+
2x1
<
1
+
2x2。
∴
f(x2)
-
f(x1)
=
lg[(1
+
2x2)/(1
+
2x2)]
-
lg[(1
+
2x1)/(1
+
2x1)]
=
lg{[(1 -
2x2)(1
+
2x1)]/[(1
+
2x2)(1
-
2x1)]}
<
lg1
=
0
∴
f(x)在区间x∈(-b，b)内是减函数，且具有单调性。