Question

请问这道题怎么做？

Answer 1

主要用到两个定理：
1、A的特征值是λ 那么A^2特征值为λ^2.
2、A的行列式等于他的特征值乘积。
所以这道题相当于是对角阵1,0,4 加上对角阵-1,0,2 再加上单位阵1,1,1
相当于对角阵1,1,7的行列式，等于7.

两个定理证明分别如下

1、
设x是A的属于特征值λ的制特征向量
即有 Ax=λx，x≠0
等式两边同时乘以A，得
(A^2)x = Aλx=λAx
因为Ax=λx
所以λAx= λ(Ax)= λ(λx) = (λ^2)x
即(A^2)x=(λ^2)x
λ^2是A^2的特征值

2、
|λI-A|=(λ-k1)(λ-k2)...(λ-kn)
其中k1,k2,...,kn是n个特征值
令上式中的回λ=0，得到
|-A|=(0-k1)(0-k2)...(0-kn)
即(-1)^n|A|=(-1)^n k1k2...kn
所以|A|=k1k2...kn