Question

你好，就是关于那个定积分“求定积分:∫ln(tanx)dx (o≤x≤π/2)，积分是限是π/2，下限是0"的一些问题

Answer 1

ln(1+tanx)=lngen2+lnsin(x+pai/4)-lncosx
lnsin(x+pai/4)在0到pai/4上的积分等于lnsinx在pai/4到pai/2的积分
用pai/2减积分的上下限可得lnsin(pai/2-x)从0到pai/4的积分即lncosx从0到pai/4的积分，第一行式子后两项积分为0故有
原式＝pai/8ln2

Answer 2

可以不用这么麻烦，开始时就可以换元了。
令x
=
π/2
-
u，dx
=
-
du
当x
=
0，u
=
π/2，当x
=
π/2，u
=
0
K
=
∫(0→π/2)
lntanx
dx
=
∫(π/2→0)
lntan(π/2
-
u)
(-
du)
=
∫(0→π/2)
lncotu
du
=
∫(0→π/2)
lncotx
dx
=
K
K
+
K
=
∫(0→π/2)
lntanx
dx
+
∫(0→π/2)
lncotx
dx
2K
=
∫(0→π/2)
(lntanx
+
lncotx)
dx
2K
=
∫(0→π/2)
ln(tanx
·
cotx)
dx
2K
=
∫(0→π/2)
ln(1)
dx
2K
=
0
==>
K
=
0