Question

n阶方阵有n个线性无关的特征向量 是否可逆

Answer 1

n阶方阵有n个线性无关的特征向量，不一定可逆，设方阵A
如果是这n个线性无关的特征向量都是非零特征值对应的，则A可逆
如果这n个线性无关的特征向量其中有零特征值对应，这时A就不可逆。
这可根据｜A｜等于所有特征值的乘积得出。
n阶方阵有n个线性无关的特征向量能说明这个矩阵可以对角化，不能说明它没有零特征值，所以不能确定A是否可逆

Answer 2

这事矩阵可逆的充分必要条件。一定是可逆矩阵。
矩阵可逆只要保证矩阵的对应行列式不为0就可以。证明可以用反证法，如果存在2个以上的线性相关特征向量，那么一定存在一组a，是的特征向量的线性组合值为0

Answer 3

这个结论需要一个关键结论:
k重特征值恰有k个线性无关的特征向量
证明太麻烦且超出知识范围,
教材都不给证明(包括同济大学的线性代数)
我只是想说一方面要掌握这个结论,
另一方面相关的定理结论也要知道
比如:
属于不同特征值的特征向量线性无关,
而实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交