Question

已知数列an中,a1=1,an+1-an=3^n-n,求通项公式an.

Answer 1

解：
a(n+1)-an=3ⁿ-n
an-a(n-1)=3^(n-1)
-(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)-(n-2)
…………
a2-a1=3
-1
累加
an
-a1=3+3²+...+3^(n-1)
-[1+2+...+(n-1)]
=3×[3^(n-1)
-1]/(3-1)
-n(n-1)/2
=(3ⁿ-3)/2
-n(n-1)/2
an=a1+(3ⁿ
-3)/2
-n(n-1)/2=(3ⁿ-n²+n-1)/2
n=1时，a1=(3-1+1-1)/2=2/2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(3ⁿ-n²+n-1)/2。

Answer 2

a2-a1=3-1；a3-a2=3²-2；a4-a3=3³-3；………；an-a(n-1)=3^(n-1)-(n-1)；
求和：an-a1=3+3²+3³+………+3^(n-1)-(1+2+3+…………+n-1）=3×[1-3^（n-1）]/(1-3)-n(n-1)/2=(3^n-3-n²+n)/2，
an=(3^n-3-n²+n)/2+1,当n=1时，符合上式，
∴an=(3^n-3-n²+n)/2+1
望采纳

Answer 3

数列an中,a1=1,an+1-an=3^n-n
则有
an+1-an=3^n-n
有
a(n)-a(n-1)=3^(n-1)-(n-1)
....
a(2)-a(1)=3^1-(2-1)
a(1)=1
以上项相加,有
a(n)=3^(n-1)-(n-1)+3^(n-2)-(n-2)+.....+...3-1+1
=3^(n-1)+....+3^1-(n-1+n-2+.....+1)+1
=3*(1-3^(n-1)/(1-3)-(n-1+1)(n-1)/2+1
=3(3^(n-1)-1)/2-n(n-1)/2+1
=3^n/2-n(n-1)/2-1/2