Question

高中数学导数难题

Answer 1

题目：已知函数f(x)=2lnx-x^2.如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x1,0),B(x2,0),且0
=p,且p,q为正实数易得0
=0,(0
=xo。
由g(x)=2lnx-x^2-ax，得其一阶导数g'(x)=2/x-2x-a，
再对g'(x)求导,得其二阶导数g"(x)=-2/x^2-2<0,(x>0),
知g'(x)在x>0上单调递减，得g'(px1+qx2)<=g'(xo)，
于是要证g'(px1+qx2)<0,只需证g'(xo)<0即可。
下面采用反证法证明。
假设g'(xo)>=0成立。
结合已知可得
2lnx1-x1^2-ax1=0.....(1),
2lnx2-x2^2-ax2=0......(2),
2/xo-2xo-a>=0......(3),
xo=(x1+x2)/2......(4),
联立四式消去a得，存在0
1)并记h(t)=lnt-2(t-1)/(t+1),(t>1)
求导易得h'(t)=(t-1)^2/[t(t+1)^2]>0,(t>1)
则有h(t)在t>1上单调递增，又h(t)可在t=1处连续，
于是h(t)>h(1)=0,(t>1)即lnt-2(t-1)/(t+1)>0
亦即ln(x2/x1)-2[(x2/x1)-1]/[(x2/x1)+1]>0
但与(5)式相矛盾，因此g'(xo)>=0这一假设是不成立的，
进而有g'(xo)<0,于是g'(px1+qx2)<=g'(xo)<0
从而g'(px1+qx2)<0，命题得证。
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