证明方程X=asinX+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b

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邶丹析培
2020-01-22 · TA获得超过3.7万个赞
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应用介值定理.如果一个连续的函数f(x),[a,b]在这个函数的定义域内连续,并且f(a)与f(b)异号,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
设f(x)=asinx+b-x,f(x)在闭区间[0,a+b]上连续,f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)≤a+b-(a+b)=0
分两种情况,当sin(a+b)=1时,f(a+b)=0,方程有一个正根x=a+b符合要求
sin(a+b)<1时,f(a+b)<0,符合介值定理条件,那么存在c∈[a,b]使得f(c)=0也就是c是方程f(x)=0的根
综合以上两个条件可知,方程至少有一个正根且不超过a+b
证:令
f(x)=x-asinx-b,则函数f(x)在闭区间[0,a+b]上连续

f(0)
=
-b<0,f(a+b)
=
a(1
-
sinx)≥0
当f(a+b)
=
0
,易得
x
=
a+b;
当f(a+b)>0
,由根的存在定理,至少存在一点ζ∈(0,a+b),使得
f(ζ)
=
0
所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,并且它不超过a+b
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