分式方程的解法和技巧

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陶芙崇昊然
2020-04-16 · TA获得超过3869个赞
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1.一般法
所谓一般法,就是先去分母,将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。

原方程就是
方程两边同乘以(x+3)(x-3),约去分母,得4(x-3)+x(x+3)=x2-9-2x。
2.换元法
换元法就是恰当地利用换元,将复杂的分式简单化。
分析
本方程若去分母,则原方程会变成高次方程,很难求出方程的

设x2+x=y,原方程可变形为
解这个方程,得y1=-2,y2=1。
当y=-2时,x2+x=-2。
∵Δ<0,∴该方程无实根
当y=1时,x2+x=1,

经检验,
是原方程的根,所以原方程的根是

3.分组结合法
就是把分式方程中各项适当结合,再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4.拆项法
拆项法就是根据分式方程的特点,将组成分式方程的各项或部分项拆项,然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是,用此法解分式方程很少有增根现象。
例4
解方程

将方程两边拆项,得
即x=-3是原方程的根。
5.因式分解法
因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式,从而简化解题过程。

将各分式的分子、分母分解因式,得
∵x-1≠0,∴两边同乘以x-1,得
检验知,它们都是原方程的根。所以,原方程的根为x1=-1,x2=0。
6.配方法
配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边,再把左边配成一个完全平方式,进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x+5=0,
解这个方程,得x=±5,或x=±1。
检验知,它们都是原方程的根。所以,原方程的根是x1=5,x2=-5,x3=1,x4=-1。
7.应用比例定理
上述例5,除了用因式分解法外,还可以应用合比和等比定理来解。下面以合比定理为例来说明。
∴x(x2-3x+2)-x(2x2-3x+1)=0,

x(x2-1)=0,
∴x=0或x=±1。
检验知,x=1是原方程的增根。所以,原方程的根是x1=0,x2=-1。
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