Question

已知：AB//CD,求证:∠D+∠B+∠BED=360度（至少用三种方法）

Answer 1

证明：（1）连接BD，如图，
∵AB‖CD（已知），
∴∠ABD+∠CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形内角和为180°），
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．
（2）延长DE交AB延长线于F，如图
∵AB‖CD（已知），
∴∠F+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠ABE=∠FEB+∠F，
∠BED=∠FBE+∠F（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°．
（3）过点E作EF‖AB，如图
∵AB‖CD，
∴AB‖EF‖CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180°
=360°．

Answer 2

证明：过点e做一条辅助线ef与ab平行
因为ab∥ef,所以∠b+∠bef=180 °（两直线平行，同旁内角互补）
又∵ab∥ef,ab∥cd,∴ef∥cd(等量代换）
∠d+∠def=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠bed=∠bef+∠def,∴∠b+∠d+∠bed=360°