Question

线性代数 a的转置乘以a的秩为什么小于等于a的秩？

Answer 1

解析如下：

设有矩阵A，B，C。

C=AB

有rank（C）≤min｛rank（A），rank（B）｝

（AT）和A有相同的秩，所以rank（（A）TA）≤min｛rank（AT），rank（A）｝=rank（A）。

线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。

随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。

线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。

Answer 2

设有矩阵A,B,C.
C=AB
有rank(C)≤min{rank(A),rank(B)}
(AT)和A有相同的秩，所以rank((A)TA)≤min{rank(AT),rank(A)}=rank(A)