Question

n次根号下n 用夹逼准则怎么证明极限存在

Answer 1

令 t = n^(1/n) - 1 ，由 n^(1/n) > 1 ，可得：t > 0 ；
则有：n = (1+t)^n = 1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2 ，
可得：t^2 < 2/(n+1) ；
所以，0 < t < √[2/(n+1)] ，
即有：0 < n^(1/n) - 1 < √[2/(n+1)] 。
已知，lim(n->∞) √[2/(n+1)] = 0 ，
由夹逼定理可得：lim(n->∞) [ n^(1/n) - 1 ] = 0 ，
所以，lim(n->∞) n^(1/n) = 1 。

Answer 2

令
t
=
n^(1/n)
-
1
，由
n^(1/n)
>
1
，可得：t
>
0
；
则有：n
=
(1+t)^n
=
1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n
>
n(n+1)t^2/2
，
可得：t^2
<
2/(n+1)
；
所以，0
<
t
<
√[2/(n+1)]
，
即有：0
<
n^(1/n)
-
1
<
√[2/(n+1)]
。
已知，lim(n->∞)
√[2/(n+1)]
=
0
，
由夹逼定理可得：lim(n->∞)
[
n^(1/n)
-
1
]
=
0
，
所以，lim(n->∞)
n^(1/n)
=
1
。