Question

高等数学第一类与第二类曲线/曲面积分的区别

Answer 1

从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。
从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。
关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。
此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意
格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。