Question

已知数列{an}, a1=a2=2.an+1=an+2an-1(n大于等于2) 求:数列an的通项公式

Answer 1

）∵an+1=an+2an-1，∴an+1+an=2（an+an-1）（n≥2）
∴{an+1+an}是2为公比，a1+a2=4为首项的等比数列．
故an+1+an=2n+1①
又由an+1=an+2an-1得：an+1-2an=-（an-2an-1）（n≥2）
∴{an+1-2an}是以-1为公比，a1-2a2=-2为首项的等比数列
故an+1-2an=2（-1）^n②
①-②得：3an=2[2^n-（-1）^n]（n≥2）
又a1=2也适合上式∴an=2[2^n-（-1）^n]/3

Answer 2

等式两边同时加An则有
A[n+1]+An=2(An+A[n-1]
则数列[A[n+1]+An]}是个首项为A1+A2=4.公比为2的等比数列
则有A[n+1]+An=4×2^(n-1)=2^(n+1)
①
等式两边同时减去2An则有
A[n+1]-2An=-(An-2A[n-1]
则数列[A[n+1]-2An]}是个首项为A2-2A1=-2.公比为-1的等比数列
则有A[n+1]-2An=(-2)×(-1)^(n-1)=2×(-1)^n
②
由①-②可得3An=2^(n+1)-2×(-1)^n
就是An=[2^(n+1)-2×(-1)^n]/3