Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，

Answer 1

①
∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ECO
∵BC
//
MN
∴∠BCE=∠CEO
∴∠CEO=∠ECO
∴OE=OC
同理可证，OF=OC
∴OE=OF
②
由于矩形的对角线交点必定是该矩形两对角线的中点。
所以，当切仅当，点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形因为，矩形的对角线交点必定是该矩形两对角线的中点。
所以，只需证明，点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形。
由①知，OE=OC，AO=CO
所以，AO=OE
所以，∠OAE=∠OEA，∠OEC=∠OCE
因为，△AEC内角和是180度。
所以，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180度
所以，∠OEA+∠OEC+∠EAC+∠ECA=180度
所以，∠OEA+∠OEC=90度=∠EAC
同理可证，∠AFC=90度
因为，∠ECF=90度
所以，∠EAF=90度
所以，四边形AECF为矩形

Answer 2

（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=12×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分）