Question

设n阶方阵A、B满足A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证A和A+B都可逆,并求它们的逆矩阵

Answer 1

原式写成b(b+a)=-a^2……（1）
原式右乘a的逆得b^2*(a的逆)+b+a=0，即b+a=-b^2*(a的逆)
……（2）
把（2）代入（1）得b[-b^2*(a的逆)
]=-a^2，右乘a，得b^3=a^3
两边同时右乘a^(-3)得b[b^a*b^(-3)]=e
故b可逆且b的逆为a^2*b^(-3)
（1）两边同时左乘-a^(-2)得b+a可逆，其逆为-a^(-2)b

Answer 2

根据A^2+AB+B^2=0可得A(A+B)=-B^2,
进一步可得到A(A+B)(-B^2)^(-1)=I，
相应地，(-B^2)^(-1)A(A+B)=I,
从而可知
A和A+B都可逆，
并且有A^(-1)=(A+B)(-B^2)^(-1),
(A+B)^(-1)=(-B^2)^(-1)A。