Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知cosA=5分之4,b=5c.

Answer 1

解答：1、由余弦定理得：a²=b²＋c²－2bccosA，
∴将条件b=5c，cosA=4／5代入得：a=3√2c，
∴再由余弦定理得：b²=a²＋c²－2accosB，
∴﹙5c﹚²=﹙3√2c﹚²＋c²－2accosB，
解得：cosB=－√2／2，∴∠B=135°，∴sinB=√2／2，
∴由cosA=4／5，得：sinA=3／5，
又由正弦定理得：a／sinA=c／sinC，
∴3√2c／﹙3／5﹚=c／sinC，解得：
sinC=√2／5，∴cosC=√23／5。
2、由sin﹙2A＋C﹚=sin2AcosC－cos2AsinC
=2sinAcosAcosC－﹙2cos²C－1﹚sinC
=2×﹙3／5﹚×﹙4／5﹚×﹙√23／5﹚－[﹙√23／5﹚²－1]×√2／5
=﹙6√23＋2√2﹚／125。
3、由△面积公式S=½absinC=﹙3／2﹚sinBsinC，代入：
½×3√2c×5c=﹙3／2﹚×﹙√2／2﹚，
解得：c=1／√10，
∴a=3／√5

Answer 2

（1） b=5c可以转化为sinB=5sinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.因为在三角形中，cosA=4/5,所以
sinA=3/5,所以3/5cosC+4/5sinC=5sinC,所以cosC=7sinC.因为sinC的平方加cosC的平方=1，所以sinC=10分之根号2