已知a>0,函数f(x)=(lnx)/(ax) 求f(x)在区间[a,2a]上的最小值

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五元斐瓮茶
2020-01-11 · TA获得超过3.7万个赞
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解:分情况讨论:先求得函数的导数为
y'=(1-lnx)/ax^2
(1)当a<=e,2a<=e,即
0<a<=e/2时,lnx<=1,y'>=0恒成立,函数单调递增
所以
当x=a时,函数取得最小值,为
lna/a^2
(2)当e/2<a<=2时,函数先单调递增,再单调递减,此时须比较两个端点

代入x=a
,x=2a,有
f(a)-f(2a)=lna/a^2
-
ln2a/2a^2
=(lna^2-ln2a)/2a^2
显然分母大于零,分母=ln(a^2/2a)=ln(a/2),由a/2<=1,知
分母ln(a/2)<=0
故上式<=0,
所以最小值为f(a)=lna/a^2
(3)当2<a<=e时,同(2)讨论,a/2>1,f(a)>f(2a),最小值为ln(2a)/2a^2
(4)当a>e时,导数<0,函数单调递减,最小值同(3)
综合上述讨论即可!
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