Question

已知a>0,函数f(x)=（lnx）/（ax） 求f(x)在区间[a,2a]上的最小值

Answer 1

解：分情况讨论:先求得函数的导数为
y'=(1-lnx)/ax^2
（1）当a<=e,2a<=e,即
0<a<=e/2时，lnx<=1,y'>=0恒成立，函数单调递增
所以
当x=a时，函数取得最小值，为
lna/a^2
（2）当e/2<a<=2时，函数先单调递增，再单调递减，此时须比较两个端点
值
代入x=a
,x=2a,有
f(a)-f(2a)=lna/a^2
-
ln2a/2a^2
=(lna^2-ln2a)/2a^2
显然分母大于零，分母=ln(a^2/2a)=ln(a/2),由a/2<=1,知
分母ln(a/2)<=0
故上式<=0,
所以最小值为f(a)=lna/a^2
（3）当2<a<=e时，同（2）讨论，a/2>1，f(a)>f(2a),最小值为ln(2a)/2a^2
（4）当a>e时，导数<0，函数单调递减，最小值同（3）
综合上述讨论即可！