Question

证明:若n为自然数,则(21n+4,14n+3)=1

Answer 1

法1∵(21n+4，14n+3)
7n+4-14n-3=7n+1
两式之差也与其中任意一个有约数，如果小的那个是是最简式，那么14n+3一样是7n+1的倍数
=(7n+1，14n+3)
=(7n+1，7n+2)
连续两个自然数互质
，显然没有公约数即得证
法2反证法，设存在公约数m>1，则：
则存在a，b同时满足：
21n+4=am;
14n+3=bm.
a,b为自然数.
消去n可得：
m=1/(3b-2a)
因为a,b为自然数，故m≤1，与假设矛盾
2.先求x有意义
1/2<=x<=1
√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=a即
√（(2x-1）/2+√(2x-1)+1/2）+√（(2x-1）/2-√(2x-1)+1/2)）=a
把根号下1/2提出显然是完全平方公式
根号2/2*（√(2x-1）+1)+根号2/2*（1-√(2x-1）)=a
a=根号2

Answer 2

证明：(
21n+4)/(14n+3)=1+(7n+1)/(14n+3)。
又因为(14n+3)/(7n+1)=2+1/(7n+1)。
则1/(7n+1)不可约。所以(14n+3)/(7n+1)不可约，
所以(21n+4)/(14n+3)也是不可约的。
即：
(21n+4,14n+3)=1