Question

设F(X)的一个原函数为（㏑X）^x, 则∫xf＂(x)dx=?

Answer 1

原式=∫xf”(x)dx=∫xd(f'(x))=xf'(x)-∫f'(x)dx=xf'(x)-f(x)
题设，F(x)
的一个原函数为
(lnx)^x，首先来看看F(x)的求法
设y=(lnx)^x
，则要求F(x)=y'
将
y=(lnx)^x
变形为
lny=xln(lnx)，再两边求导
y'/y
=
ln(lnx)+x
*
(1/lnx)
*
(1/x)
=
ln(lnx)
+
1/lnx
y'
=
y
*
[ln(lnx)
+
1/lnx]
=
(lnx)^x
*
[ln(lnx)
+
1/lnx]
=
x
(lnx)ln(lnx)
+
x
f(x)
=
y''
=
(lnx)ln(lnx)
+
x*(1/x)*ln(lnx)
+
x
(lnx)*(1/lnx)*(1/x)
+
1=
(lnx)ln(lnx)
+
ln(lnx)
+
2
f'(x)
=
y'''
=
ln(lnx)/x
+
1/x
+
1/(xlnx)
原式=xf'(x)-f(x)=ln(lnx)+1+1/lnx
-
(lnx)ln(lnx)-ln(lnx)-2
=
1/lnx
-
(lnx)ln(lnx)
-1