Question

若实数a,b,c,满足2的a次方+2的b次方=2的(a+b)次方，2的a次方+2的b次方+2的c次方=2的(a+b+c)次方,求c的最大

Answer 1

设2的a次方
=x
2的b次方=y
2的c次方=z
则x,y,z>0
x+y=xy
则x=xy
-
y
=y(x-1)
>0
所以x>1
同理y>1
,z>1

x+y=xy
(1)
x+y+z
=
xyz
(2)
得z=
xy/（xy-1）=（x+y）
/(x+y-1)
=
1+
1
/(x+y-1)
由（1）可画出图形为
x=1,y=1为渐近线的双曲线（右半部分）
求z可先
x+y的最小值
则可作x+y=0
这条直线平移接近双曲线
，切点即是要
求的点
设
x+y=k
与
x+y=xy
相交，delta
=
k^2-4k
所求的点，即
相切时delta=0
k=4，-4（舍，因为x,y>0）
则x+y=4
Zmax=4/(4-1)
=4/3