Question

如何用向量证明三角形三条中线交于一点

Answer 1

假设CF与BE交于G点

现在需要证明的是：G点位于AD上：

根据梅氏定理：(CE/EA)(AB/BF)(FG/GC)=1

即：1*2(FG/GC)=1

即：FG/GC=1/2

故：CG=2CF/3

CF=(CA+CB)/2

故：CG=(CA+CB)/3

故：GD=CD-CG=CB/2-CG

=CB/2-(CA+CB)/3

=-CA/3+CB/6

=(-1/6)(2CA-CB)

AG=CG-CA=(CA+CB)/3-CA

=-2CA/3+CB/3

=(-1/3)(2CA-CB)

即：AG=2GD

即：AG、GD共线

即：A、G、D三点共线

即原结论得证

三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。

以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

Answer 2

AD、BE、CF是△ABC的三条中线，用向量法求证：AD、BE、CF共点。
［证明］
令BE、CF相交于O，且BO＝mOE、CO＝nOF，其中m、n为非零实数。则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF。
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF，
　向量FE＝向量OE－向量OF。
显然有：向量BC＝2向量FE，∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF），
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF，而向量OE、向量OF不共线，∴m－2＝n－2＝0，
∴m＝n＝2，∴BO＝2OE、CO＝2OF。
令AD、BE相交于G，利用上述结论，则有：BG＝2GE，又BO＝2OE，且O、G都在线段BE上，
∴O、G重合，∴AD、BE、CF共点。