Question

设sn为数列an的前n项和,已知a1不等于0,2an-a1=S1*Sn求{nan}的前n项Tn

Answer 1

解：
1、
n=1时，2a1-a1=s1×s1=a1²
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(与已知矛盾，舍去)或a1=1
2a2-a1=s2=a1+a2
a2=2a1=2×1=2
s1=a1=1代入已知等式，得
sn=2an
-1
n≥2时，an=sn-s(n-1)=2an-1-2a(n-1)+1=2an
-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列。
an=1×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
2、
sn=1×(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ-1

Answer 2

解：
n=1时，2a1-a1=a1=S1S1=a1²
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(舍去)或a1=1
n≥2时，2an-a1=2an-1=S1Sn=Sn
Sn=2an
-1
an=Sn-S(n-1)=2an-1-2a(n-1)+1=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值，数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列。
an=1×2^(n-1)=2^(n-1)
n=1时，a1=2^0=1，同样满足通项公式，数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
a2=2^1=2
nan=n×2^(n-1)
Tn=1×1+2×2+3×2²+...+n×2^(n-1)
2Tn=1×2+2×2²+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ
Tn-2Tn=-Tn=1+2+...+2^(n-1)-n×2ⁿ
=1×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2ⁿ
=(1-n)×2ⁿ
-1
Tn=(n-1)×2ⁿ
+1