Question

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b

Answer 1

原函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b（1）f(0)=0，得b=0

导数 f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)，
即 f'(0)=-a(a+2)=-3，得 a=1或a=
-3 (2)
f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)]

即x1=a或-(a+2)/3

①
当
a=-1/2时， f'(x)>=0恒成立，即 f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b
在（负无穷，正无穷）单调递增；

②
当 a<-1/2时， a< -(a+2)/3，

-1<a<1
或
-1<(a+2)/3<1，得
-5<a<-1/2；

③
当 a>-1/2时， a> -(a+2)/3，
-1<a<1
或
-1<(a+2)/3<1，得
-1/2<a<1；
综上可得
：
a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝

Answer 2

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b
f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b
^表示次方
1）函数f(x)的图象过原点，那么f(0)=0
所以0=0+b
b=0
f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)
f'(0)=-a(a+2)=-3
（a+3）（a-1）=0
所以a=1或者-3
综上b=0
a=1或者-3
2）
据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
　
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1<x1<1，即
-1<a<1；
③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1，
　
综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝