Question

已知二次函数F(X)=-1/2X^2+X,问是否存在实数M,N(M<N),使X属于[M.N]时,

Answer 1

解：分三种情况讨论。当M,N<1f(m)=2m,f(n)=2n.当M,N>1f(m)=2n,f(n)=2m.当1属于[m,n],f(1)=2n,f(m)=2m,或f(n)=2m比较m,n即可

Answer 2

F(x)开口向下，对称轴x=1，当N<1时，在x=N处有最大值F(N)=-1/2N^2+N=2N，x=M处有最小值F(M)=-1/2M^2+M=2M，M=N，所以不成立。当N>=1时,在x=1有最大值F(1)=-1/2+1=1/2=2N
N=1/4<1
所以不成立。当M>1时，
在x=M处有最大值，F(M)=-1/2M^2+M=2N，x=N处最小值，F(N)=-1/2N^2+N=2M
-1/2(M^2-N^2)=M+N
M-N=-2
M=N-2
N^2+2N-8=0
N=-4或N=2
那么M=0
不成立。

Answer 3

解：不存在这样的实数M,N

F(x)=-1/2x²+x＝－1/2(x-1)²+1/2

可知
x<1时，
F(x)为增函数

x≥1时，
F(x)为减函数

假设存在M<N<=1，使当x属于[M,N],函数的值域恰为[2M,2N]

则F(M)=2M=-1/2M²+M
=>
M=0 或
M=-2

F(N)=2N=-1/2N²+N
=>
N=0
或
N=-2
与
M<N矛盾

假设存在1<=M<N ，使当x属于[M,N],函数的值域恰为[2M,2N]
则F(M)=2N=-1/2M²+M
F(N)=2M=-1/2N²+N,两式相加
得M+N=-1/2(M²+N²),左边>0，右边<0

等式显然不成立
综上所述，不存在这样的实数M,N