Question

设a，b，c为任意三角形的三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca

Answer 1

证明：
l^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,
3S=3ab+3bc+3ac
4S=4ab+4bc+4ac
要证3S≤l^2,只要证3ab+3bc+3ac≤a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，即
ab+ac+bc≤a^2+b^2+c^2
∵a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2≥2ab+2bc+2ac
∴ab+ac+bc≤a^2+b^2+c^2得证，即3S≤l^2
要证l^2≤4S,只要证a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤4ab+4bc+4ac，即
a^2+b^2+c^2≤2ab+2bc+2ac
∵三角形中两边之和大于第三边
∴a^2<a(b+c)b^2<b(c+a)c^2<c(a+b)
∴a^2+b^2+c^2<a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2ab+2bc+2ac
∴a^2+b^2+c^2≤2ab+2bc+2ac得证，即I^2≤4S（其实取不到等号）
∴3S≤I^2≤4S