Question

求解该矩阵的特征值和对应的特征向量

Answer 1

设特征值为t，特征向量为X，单位矩阵记为E，原矩阵记为A
由特征值的定义，有AX=tX，即(tE-A)X
=0
我们知道特征向量是非零的。而上述方程要有非零解，必须满足（tE-A）不可逆（否则我们在方程两边同时乘以（tE-A）的逆矩阵，就得到X=0，方程就只有零解了，这是我们所不希望的）
而（tE-A）不可逆
等价于
(tE-A)的行列式等于零，这样就得出了求特征值的具体方法：
算出tE-A的行列式为
t(t-1)(t-1)+4-t-4(t-1)
，令它等于零，解得
t=2
（2重根，即代数重数等于2）或t=-2
已经得到了特征值，那接下来我们的任务就是算出特征值对应的特征向量X
回到最初我们讨论的那个方程：(tE-A)X
=0
将特征值t=2代入，可得(2E-A)X=0，而我们的目标就是求出X
容易得到（别告诉我你不会解方程...）X=a[1
0
-1]+b[2
-1
0]，a和b为任意数且a和b不同时为零
类似地，再将t=-2代入，就得到特征值-2对应的特征向量X=c[1
1
1]
，c是任意数

Answer 2

A=
1
-2
-1
-1
0
-1
-1
-2
1
λ-1
λ+2
λ+1
I
λE-A
I=
λ+1
λ
λ+1
=0
λ+1
λ+2
λ-1
解得
λ=-2/3
所以特征值为-2/3
将特征值带入齐次方程组
-5x1/3+4x2/3+x3/3=0
x1/3-2x2/3+x3/3=0
x1/3+4x2/3-5x3/3=0
先确定上述方程组的系数矩阵的秩r
然后求上述方程组的基础解系
W1..........Wr（哇，太多了，码的好累，下面我就只说思路了哈）
所以属于特征值-2/3的全部特征向量为k1W1+K2W2......KrWr
（k去遍相应数域中任意不等于0的数）