Question

当x>0时，证明x-x^3/6<sinx<x

应用求导和单调性。

Answer 1

证明：
先证：sinx<x
设函数f(x)=x-sinx
f(0)=0
f'(x)=1-cosx>0(x>0时)
所以：f(x)是增函数。f(x)>f(0)=0
即x-sinx>0
所以：sinx<x
(1)
再证：x-x^3/6<sinx
设g(x)=sinx-(x-x^3/6)
则：g(0)=0
g'(x)=cosx-1+x^2/2
下面证g'(x)大于0（x>0时）
设h(x)=g'(x)
h(0)=g'(0)=cos0-1+0^2/3=0
h'(x)=g"(x)=-sinx+x=x-sinx>0
h'（x）>0
h(0)=0可得：h(x)>0(增函数)
因为h(x)>0所以：
g'(x)是增函数，
又因为g(0)大于0且g'(x)是增函数，可得：g(x)>0
所以g(x)是增函数
又g(0)=0，所以：g(x)>0
所以：sinx-(x-x^2/6)>0
x-x^3/6<sinx<x
（2）
根据：（1）（2）可得：
x-x^3/6<sinx<x
（x<0）