Question

高数下 曲面积分？

三重积分高斯公式的运用，可以详述一下这道题的解题过程吗

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

不出意外，应该是这样

Answer 3

作辅助平面Σ':z=h，x²＋y²≤4h²，取上侧
则Σ和Σ'刚好可以组成一个封闭曲面，运用高斯公式得
∫∫(Σ＋Σ') xdydz＋2ydzdx＋3zdxdy
=∫∫∫Ω 6dV=∫∫Σ＋∫∫Σ'
所以∫∫Σ' xdydz＋2ydzdx＋3zdxdy
= 6∫∫∫ΩdV－∫∫Σ'(xdydz＋2ydzdx＋3zdxdy)
=6∫∫∫ΩdV－∫∫Σ' 3hdxdy
=6×1/3×π×(2h)²×h－3h×π×(2h)²
=－4πh³

Answer 4

补充 z = h 与锥面的截面，这样就可以用高斯定理。
原积分 = 6 * 锥体的体积 - 3h * (z = h 与锥面的截面的面积）

Answer 5

补充平面 ∑1：z = h （x^2+y^2 ≤ 4h^2）, 取上侧，则
I = ∯<∑+ ∑1> - ∫∫<∑1>, 前者用高斯公式， 后者 z = h， dz = 0
I = ∫∫∫<Ω>6dv - 3h∫∫<D>dxdy = 2πh(4h^2) - 3hπ(4h^2) = -4πh^3