Question

已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，...

已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0） （I）求函数f（x）的值域； （II）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

解：（I）解：f(x)=√32sinωx+12cosωx+√32sinωx-12cosωx-(cosωx+1)
=2(√32sinωx-12cosωx)-1
=2sin(ωx-π6)-1．
由-1≤sin(ωx-π6)≤1，得-3≤2sin(ωx-π6)-1≤1，
可知函数f（x）的值域为[-3，1]．
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得2πω=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-π6)-1，
再由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-π6，kπ+π3]（k∈Z）