Question

（高一数学）已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)-x ² +x]=f(x)-x ² +x.

(1).f(2)=3,求f（1）；有若f(0)=a,求f(a); (2).设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式

Answer 1

解：（I）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x^2＋x
所以f(f(2)－2^2＋2)＝f(2)－2^2＋2
又由f(2)＝3，得
f
(3－2^2＋2)＝3－2^2＋2，即
f(1)＝1
若f(0)＝a，则f
(a－0^2＋0)＝a－0^2＋0，即
f(a)＝a
（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x^2＋x)＝f
(x)－x^2＋x
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0
所以对任意，有f(x)－x^2＋x＝x0
在上式中令x＝x0，有f(x0)－x0^2＋x0＝x0
又因为f(x0)＝x0，所以－x0^2
＝0，故x0＝0或x0＝1
若x0＝0，则f(x)－x^2＋x＝0，即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x0≠0
若x0＝1，则有则f
(x)－x^2＋x＝1，即f
(x)＝x^2－x＋1。易验证函数满足题设条件。
综上，所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）

Answer 2

令t=x+2→x=t-2
在实数集r上的函数,满足f(x+2)=-f(x),
则有f(t)=-f(t-2)
当t属于区间[0，2],则函数满足关系式f(t)=2t-t2,
t-2属于区间[-2,0],且满足f（t-2）=-f（t）=-2t+t2
再将x=t-2代回，则有f（x）=-2（x+2）+(x+2)^2
x属于区间【-2，0】
2、由于f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
则f（x）是以4为周期的函数
则当x属于区间【-2，2】，x+4属于区间【2，6】
则有f（x+4）=f（x）
令t=x+4，x=t-4，且t属于区间【2，6】，t-4属于区间【-2，2】
则f（t）=f（t-4）
当t属于【2，4】，t-4属于【-2，0】，f（t）=-2（t-2）+(t+2)^2
当t属于【4，6】，t-4属于【0，2】，f（t）=-2（t-4）+(t-4)^2